Question

已知p:0＜m＜,q:方程mx²-2x+3=0有兩個(gè)同號(hào)且不相等實(shí)根，證明p是q的充要條件.

Answer 1

思路分析：證充分性：即證pq,證必要性即證qp,需證兩個(gè)方面.?

證明：當(dāng)m=0時(shí)，方程化為-2x+3=0,僅有一個(gè)實(shí)根x=,當(dāng)m≠0時(shí)，且Δ=4-12m＞0即m＜且m≠0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，設(shè)兩根為x₁,x₂.?

若0＜m＜時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且x₁+x₂=＞0,x₁x₂=＞0,故方程有兩個(gè)同號(hào)且不相等的實(shí)數(shù)根.?

即0＜m＜方程mx²-2x+3=0有兩個(gè)同號(hào)且不相等的實(shí)數(shù)根.?

若方程mx²-2x+3=0有兩個(gè)同號(hào)且不相等的實(shí)數(shù)根，則有

∴0＜m＜.

即方程mx²-2x+3=0有兩個(gè)同號(hào)且不相等的實(shí)數(shù)根0＜m＜.?

所以q是p的充要條件.

溫馨提示

對(duì)含參數(shù)的命題的充要條件的證明中常需對(duì)參數(shù)分類討論，對(duì)一元二次方程根的問題討論，要依據(jù)判別式、韋達(dá)定理或數(shù)形結(jié)合來綜合研究.