Question

求使

x2+y2

+

x2+(1-y)2

+

(1-x)2+y2

+

(1-x)2+(1-y)2

取最小值時，點P（x，y）的坐標(biāo)．

Answer 1

考點：兩點間距離公式的應(yīng)用

專題：計算題

分析：設(shè)A（0，0），B（1，0），C（1，1），D（0，1），P（x，y）則M=

x2+y2

+

x2+(1-y)2

+

(1-x)2+y2

+

(1-x)2+(1-y)2

≥2

2

，當(dāng)AP與PC同向，BP與PD同向時取等號，設(shè)PC=λAP，PD=μBP，則1-x=λx，1-y=λy，-x=μx-μ，1-y=μy，所以當(dāng)x=y=

1

2

時，M的最小值為2

2

．

解答： 解：設(shè)A（0，0），B（1，0），C（1，1），D（0，1），P（x，y），
則M=

x2+y2

+

x2+(1-y)2

+

(1-x)2+y2

+

(1-x)2+(1-y)2

=|PA|+|PD|+PB|+|PC|
=（|AP|+|PC|）+（|BP|+PD|）
≥|AP+PC|+|BP+PD|=|AC|+|BD|=

2

+

2

=2

2

．
∴M≥2

2

，當(dāng)AP與PC同向，BP與PD同向時取等號，設(shè)PC=λAP，PD=μBP，
則1-x=λx，1-y=λy，-x=μx-μ，1-y=μy，解得λ=μ=1，x=y=

1

2

，
所以當(dāng)x=y=

1

2

時，M的最小值為2

2

．
故點P的坐標(biāo)為（

1

2

，

1

2

）．

點評：本題主要考察了兩點間距離公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．