Question

下列命題正確的個數(shù)是（　　）
①“在三角形ABC中，若sinA＞sinB，則A＞B”是真命題；
②函數(shù) f（x）=cos²ax-sin²ax的最小正周期為“π是“a=1”的必要不充分條件；
③“?x∈R，x³-x²+1≤0”的否定是“?x∈R，x³-x²+1＞0”；
④向量

a

=（1，-2）與

b

=（1，m）的夾角為銳角，則m的取值范圍為（-∞，

1

2

）．

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質,解三角形,平面向量及應用,簡易邏輯

分析：①，在三角形ABC中，利用正弦定理可由sinA＞sinB⇒a＞b，再由大邊對大角，可得A＞B，從而可判斷①；
②，利用二倍角的余弦公式及余弦函數(shù)的周期公式，結合充分必要條件的概念可判斷②；
③，全稱命題的否定是特稱命題，寫出命題：“?x∈R，x³-x²+1≤0”的否定，可判斷③；
④，利用向量的數(shù)量積的坐標運算可判斷④．

解答： 解：①，在三角形ABC中，若sinA＞sinB，由正弦定理可知a＞b，故A＞B（大邊對大角），是真命題，故①正確；
②，∵函數(shù)f（x）=cos²ax-sin²ax=cos2ax的最小正周期為T=

2π

2|a|

=π，
∴|a|=1，解得a=±1，充分性不成立；
反之，若a=1，函數(shù)f（x）的最小正周期為π，必要性成立，
∴函數(shù) f（x）=cos²ax-sin²ax的最小正周期為“π是“a=1”的必要不充分條件，故②正確；
③“?x∈R，x³-x²+1≤0”的否定是“?x∈R，x³-x²+1＞0”，故③正確；
④向量

a

=（1，-2）與

b

=（1，m）的夾角為銳角，則1×1-2m＞0，解得m＜

1

2

，
∴m的取值范圍為（-∞，

1

2

），故④正確．
綜上所述，正確的命題為：①②③④．
故選：D．

點評：本題考查向量的真假判斷與應用，主要考查正弦定理、二倍角的余弦公式及余弦函數(shù)的周期公式，考查充分必要條件的概念及全稱命題與特稱命題之間的關系，屬于中檔題．