Question

5．已知函數(shù)f（x）=1+lnx-$\frac{k（x-2）}{x}$，其中k為常數(shù)．
（1）若k=0，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（2）若k=5，求f（x）零點(diǎn)的個數(shù)；
（3）若k為整數(shù)，且當(dāng)x＞2時，f（x）＞0恒成立，求k的最大值．（參考數(shù)據(jù)ln8=2.08，ln9=2.20，ln10=2.30）

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計算f（1），f′（1）的值，求出切線方程即可；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而判斷函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)即可；
（3）問題轉(zhuǎn)化為$k＜\frac{x+xlnx}{x-2}$對x∈（2，+∞）恒成立，令$h=\frac{x+xlnx}{x-2}$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出k的最大值即可．

解答 解：（1）當(dāng)k=0時，f（x）=1+lnx．因?yàn)?f'（x）=\frac{1}{x}$，從而f'（1）=1．
又f（1）=1，所以曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程y-1=x-1，
即x-y=0．
（2）當(dāng)k=5時，$f（x）=lnx+\frac{10}{x}-4$．因?yàn)?f'（x）=\frac{x-10}{x^2}$，從而，
當(dāng)x∈（0，10），f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（10，+∞）時，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增．
所以當(dāng)x=10時，f（x）有極小值．
因f（10）=ln10-3＜0，f（1）=6＞0，
所以f（x）在（1，10）之間有一個零點(diǎn)．
因?yàn)?f（{e^4}）=4+\frac{10}{e^4}-4＞0$，
所以f（x）在（10，e⁴）之間有一個零點(diǎn)．
從而f（x）有兩個不同的零點(diǎn)．
（3）由題意知，$1+lnx-\frac{k（x-2）}{x}＞0$對x∈（2，+∞）恒成立，
即$k＜\frac{x+xlnx}{x-2}$對x∈（2，+∞）恒成立．
令$h=\frac{x+xlnx}{x-2}$，則$h'（x）=\frac{x-2lnx-4}{{{{（x-2）}^2}}}$．
設(shè)v（x）=x-2lnx-4，則$v'（x）=\frac{x-2}{x}$．
當(dāng)x∈（2，+∞）時，v'（x）＞0，
所以v（x）在（2，+∞）為增函數(shù)．
因?yàn)関（8）=8-2ln8-4=4-2ln8＜0，v（9）=5-2ln9＞0，
所以存在x₀∈（8，9），v（x₀）=0，即x₀-2lnx₀-4=0．
當(dāng)x∈（2，x₀）時，h'（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈（x₀，+∞）時，h'（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增．
所以當(dāng)x=x₀時，h（x）的最小值$h（{x_0}）=\frac{{{x_0}+{x_0}ln{x_0}}}{{{x_0}-2}}$．
因?yàn)?ln{x_0}=\frac{{{x_0}-4}}{2}$，所以$h（{x_0}）=\frac{x_0}{2}∈（4，4.5）$．
故所求的整數(shù)k的最大值為4．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及轉(zhuǎn)化思想，函數(shù)恒成立問題，是一道綜合題．