Question

15．已知偶函數(shù)f（x）是定義在{x∈R|x≠0}上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為f'（x）．當(dāng)x＜0時(shí)，$f'（x）＜\frac{f（x）}{x}$恒成立．設(shè)m＞1，記$a=\frac{4mf（m+1）}{m+1}$，$b=2\sqrt{m}f（2\sqrt{m}）$，$c=（m+1）f（\frac{4m}{m+1}）$，則a，b，c的大小關(guān)系為（　�。�

• A． a＜b＜c
• B． a＞b＞c
• C． b＜a＜c
• D． b＞a＞c

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)g（x），求出g（x）的奇偶性和單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)判斷a，b，c的大小即可．

解答 解：令g（x）=$\frac{f（x）}{x}$（x≠0），則g′（x）=$\frac{xf′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$，
因?yàn)楫?dāng)x＜0時(shí)f′（x）＜$\frac{f（x）}{x}$恒成立，
所以當(dāng)x＜0時(shí)xf′（x）-f（x）＞0，
即當(dāng)x＜0時(shí)g′（x）＞0，所以g（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞增，
又因?yàn)閒（-x）=f（x），
所以g（-x）=$\frac{f（-x）}{-x}$=-$\frac{f（x）}{x}$=-g（x），即g（x）是奇函數(shù)，
所以g（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，
又因?yàn)閙+1＞2$\sqrt{m}$＞$\frac{4m}{m+1}$，
所以g（m+1）＞g（2$\sqrt{m}$）＞g（$\frac{4m}{m+1}$），
所以$\frac{f（m+1）}{m+1}$＞$\frac{f（2\sqrt{m}）}{2\sqrt{m}}$＞$\frac{f（\frac{4m}{m+1}）}{\frac{4m}{m+1}}$，即a＞b＞c，
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性問題，構(gòu)造函數(shù)g（x）是解題的關(guān)鍵，本題是一道中檔題．