Question

已知(1+x+x2)(x+

1

x3

)n的展開式中沒有常數(shù)項，n∈N^*，2≤n≤8，則n=

 

．

Answer 1

分析：先將問題轉(zhuǎn)化成二項式的展開式中沒有常數(shù)項，利用二項展開式的通項公式求出第r+1項，令x的指數(shù)為0得常數(shù)項．轉(zhuǎn)化成方程無解．

解答：解：依題(x+

1

x3

)n對n∈N^*，2≤n≤8中，展開式中沒有常數(shù)項
∴(x+

1

x3

)n不含常數(shù)項，不含x^-1項，不含x^-2項
(x+

1

x3

)n展開式的通項為T_r+1=C_n^rx^n-rx^-3r=C_n^rx^n-4r
據(jù)題意知

n-4r=0 n-4r=-1 n-4r=-2

當(dāng)n∈N^*，2≤n≤8時無解
通過檢驗n=5
故答案為5

點評：本題考查數(shù)學(xué)中的等價轉(zhuǎn)化的能力和利用二項展開式的通項公式解決二項展開式的特定項．