Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x2﹣alnx（a∈R）．
（1）若曲線f（x）在（1，f（1））處的切線與直線y=﹣x+5垂直，求實數(shù)a的值．
（2）x0∈[1，e]，使得 ≤0成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數(shù)f（x）=x2﹣alnx的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=2x﹣ ，

即有曲線f（x）在（1，f（1））處的切線斜率為2﹣a，

由切線與直線y=﹣x+5垂直，可得2﹣a=1，

解得a=1

（2）解：x0∈[1，e]，使得 ≤0成立，

即有x0∈[1，e]，使得f（x0）+1+a≤0成立，

由lnx0∈[0，1]，則1﹣lnx0∈[0，1]，

即有x0∈[1，e]，﹣a≥ 的最小值，

由y= 的導(dǎo)數(shù)為y′= ，

由于3﹣2lnx0∈[1，3]，則導(dǎo)數(shù)大于0，

即有函數(shù)y在[1，e]遞增，

則函數(shù)的最小值為2，

即有﹣a≥2，解得a≤﹣2．

則實數(shù)a的取值范圍是（﹣∞，﹣2]

【解析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，由兩直線垂直的條件：斜率之積為﹣1，即可得到所求a的值；（2）由題意可得x0∈[1，e]，使得f（x0）+1+a≤0成立，運用參數(shù)分離和構(gòu)造函數(shù)運用導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性即可得到最小值，進而得到a的范圍．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識，掌握求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．