Question

20．以平面直角坐標系xOy的原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，圓C的半徑為$\sqrt{2}$，圓心C的極坐標為（$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$），曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=3cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）．
（1）在極坐標系中，直線l：$θ=\frac{π}{3}$（ρ∈R）與圓C交于A、B兩點，求|AB|；
（Ⅱ）在（I）條件下，將直線l向右平移4個單位得到l′，設點P是曲線C₁上的一個動點，求它到直線l′的距離的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出直線l和圓C的普通方程，計算圓心C到直線l的距離，利用垂徑定理得出弦長|AB|；
（2）求出直線l′的方程，設P（3cosθ，$\sqrt{3}$sinθ），代入點到直線的距離公式，利用三角函數(shù)恒等變換化簡，根據(jù)正弦函數(shù)的性質求出距離的最小值．

解答 解：（1）直線l的直角坐標方程為y=$\sqrt{3}$x，即$\sqrt{3}x-y=0$．
點C的直角坐標為（1，1），
∴圓C的直角坐標方程為（x-1）²+（y-1）²=2，
∴圓心C到直線l的距離d=$\frac{|\sqrt{3}-1|}{2}$=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，
∴|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}-rvsqzyb^{2}}$=$\sqrt{4+2\sqrt{3}}$=$\sqrt{3}+1$．
（2）直線l′的方程為：y=$\sqrt{3}$（x-4），即$\sqrt{3}$x-y-4$\sqrt{3}$=0．
∴P（3cosθ，$\sqrt{3}$sinθ）到直線l′的距離d′=$\frac{|3\sqrt{3}cosθ-\sqrt{3}sinθ-4\sqrt{3}|}{2}$=$\frac{|\sqrt{30}cos（θ+φ）-4\sqrt{3}|}{2}$．
∴當cos（θ+φ）=1時，d′取得最小值$\frac{4\sqrt{3}-\sqrt{30}}{2}$．
∴P到直線l′的距離的最小值為$\frac{4\sqrt{3}-\sqrt{30}}{2}$．

點評 本題考查了極坐標與直角坐標的對應關系，參數(shù)方程的應用，距離公式，屬于中檔題．