Question

5．已知數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足a₁=m，a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{n}，n=2k-1}\\{{a}_{n}+r，n=2k}\end{array}\right.$（k∈N^*，r∈R），其前n項(xiàng)和為S_n．
（1）當(dāng)m與r滿(mǎn)足什么關(guān)系時(shí)，對(duì)任意的n∈N^*，數(shù)列{a_n}都滿(mǎn)足a_n+2=a_n？
（2）對(duì)任意實(shí)數(shù)m，r，是否存在實(shí)數(shù)p與q，使得{a_2n+1+p}與{a_2n+q}是同一個(gè)等比數(shù)列？若存在，請(qǐng)求出p，q滿(mǎn)足的條件；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）當(dāng)m=r=1時(shí)，若對(duì)任意的n∈N^*，都有S_n≥λa_n，求實(shí)數(shù)λ的最大值．

Answer 1

分析 （1）由題意a₁=m，a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{n}，n=2k-1}\\{{a}_{n}+r，n=2k}\end{array}\right.$（k∈N^*，r∈R），得a₂=2a₁=2m，a₃=a₂+r=2m+r，由a₃=a₁，得m+r=0．當(dāng)m+r=0時(shí)，可得：a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{n}，n=2k-1}\\{{a}_{n}-m，n=2k}\end{array}\right.$（k∈N^*），即可得出．
（2）依題意，a_2n+1=a_2n+r=2a_2n-1+r，則a_2n+1+r=2（a_2n-1+r），由a₁+r=m+r，當(dāng)m+r≠0時(shí)，{a_2n+1+r}是等比數(shù)列，且a_2n+1+r=$（{a}_{1}+r）•{2}^{n}$=（m+r）•2ⁿ．
為使{a_2n+1+p}是等比數(shù)列，則p=r．同理，當(dāng)m+r≠0時(shí)，a_2n+2r=（m+r）•2ⁿ，則{a_2n+2r}是等比數(shù)列，則q=2r．即可得出．
（3）當(dāng)m=r=1時(shí)，由（2）可得a_2n-1=2ⁿ-1，a_2n=2ⁿ⁺¹-2，當(dāng)n=2k時(shí)，a_n=a_2k=2^k+1-2；當(dāng)n=2k-1時(shí)，a_n=a_2k-1=2^k-1，進(jìn)而得出．

解答 解：（1）由題意a₁=m，a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{n}，n=2k-1}\\{{a}_{n}+r，n=2k}\end{array}\right.$（k∈N^*，r∈R），
得a₂=2a₁=2m，a₃=a₂+r=2m+r，
首先由a₃=a₁，得m+r=0．
當(dāng)m+r=0時(shí)，可得：a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{n}，n=2k-1}\\{{a}_{n}-m，n=2k}\end{array}\right.$（k∈N^*），
∴a₁=a₃=…=m，
a₂=a₄=…=2m，
故對(duì)任意的n∈N^*，數(shù)列{a_n}都滿(mǎn)足a_n+2=a_n．
即當(dāng)實(shí)數(shù)m，r滿(mǎn)足m+r=0時(shí)，題意成立．
（2）依題意，a_2n+1=a_2n+r=2a_2n-1+r，則a_2n+1+r=2（a_2n-1+r），
因?yàn)閍₁+r=m+r，所以當(dāng)m+r≠0時(shí)，{a_2n+1+r}是等比數(shù)列，且a_2n+1+r=$（{a}_{1}+r）•{2}^{n}$=（m+r）•2ⁿ．
為使{a_2n+1+p}是等比數(shù)列，則p=r．
同理，當(dāng)m+r≠0時(shí)，a_2n+2r=（m+r）•2ⁿ，則{a_2n+2r}是等比數(shù)列，則q=2r．
綜上所述：
①若m+r=0，則不存在實(shí)數(shù)p，q，使得{a_2n+1+p}與{a_2n+q}是等比數(shù)列；
②若m+r≠0，則當(dāng)p，q滿(mǎn)足q=2p=2r時(shí)，{a_2n+1+p}與{a_2n+q}是同一個(gè)等比數(shù)列．
（3）當(dāng)m=r=1時(shí)，由（2）可得a_2n-1=2ⁿ-1，a_2n=2ⁿ⁺¹-2，
當(dāng)n=2k時(shí)，a_n=a_2k=2^k+1-2，
S_n=S_2k=（2+2²+…+2^k）+（2²+2³+…+2^k+1）-3k=$\frac{2（{2}^{k}-1）}{2-1}$+$\frac{4（{2}^{k}-1）}{2-1}$-3k=3（2^k+1-k-2）．
所以$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$=3$（1-\frac{k}{{2}^{k+1}-2}）$，
令c_k=$\frac{k}{{2}^{k+1}-2}$，則c_k+1-c_k=$\frac{k+1}{{2}^{k+2}-2}$-$\frac{k}{{2}^{k+1}-2}$=$\frac{（1-k）•{2}^{k+1}-2}{（{2}^{k+2}-2）（{2}^{k+1}-2）}$＜0，
所以$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$$≥\frac{3}{2}$，$λ≤\frac{3}{2}$，
當(dāng)n=2k-1時(shí)，a_n=a_2k-1=2^k-1，S_n=S_2k-a_2k=3（2^k+1-k-2）-（2^k+1-2）=2^k+2-3k-4，
所以$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$=4-$\frac{3k}{{2}^{k}-1}$，同理可得$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$≥1，λ≤1，
綜上所述，實(shí)數(shù)λ的最大值為1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、不等式的性質(zhì)，考查了分類(lèi)討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．