Question

8．在矩形ABCD中，AB=2，BC=1，沿AC折成大小為60°的二面角，則BD等于$\frac{\sqrt{65}}{5}$．

Answer 1

分析 沿AC折成大小為60°的二面角D-AC-B后，過(guò)B、D做AC的垂線分別交AC于E、F，設(shè)D在平面ACB的投影為H，分別求出BE=DF=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，AF=CE=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，從而得到EF=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，進(jìn)而求出DH和FH，再由BD²=（BE-FH）²+EF²+DH²，能求出結(jié)果．

解答 解：在矩形ABCD中，AB=2，BC=1，
連結(jié)AC、BD，交于O，則AC=BD=$\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$，
沿AC折成大小為60°的二面角D-AC-B后，
∵過(guò)B、D做AC的垂線分別交AC于E、F，
設(shè)D在平面ACB的投影為H，連結(jié)FH，
過(guò)H作HG⊥BE，交BE于G，
BE=DF=$\frac{AB•BC}{AC}$=$\frac{2×1}{\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
AF=CE=$\sqrt{B{C}^{2}-B{E}^{2}}$=$\sqrt{1-\frac{4}{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
則EF=AE-AF=AE-CE=AC-CE-CE=AC-2CE=$\sqrt{5}$-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
DH=DFsin60°=$\frac{\sqrt{15}}{5}$，F(xiàn)H=DFcos60°=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴BD²=（BE-FH）²+EF²+DH²=$\frac{1}{5}+\frac{9}{5}+\frac{3}{5}$=$\frac{13}{5}$，
∴BD=$\frac{\sqrt{65}}{5}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{65}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線段長(zhǎng)的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．