Question

13．如圖，△ABC內(nèi)接于直徑為BC的圓O，過點A作圓O的切線交CB的延長線于點M，∠BAC的平分線分別交圓O和BC于點D，E，若MA=$\frac{5}{2}$MB=15．
（Ⅰ）求證：AC=$\frac{5}{2}$AB；
（Ⅱ）求AE•DE的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過證明△ABP∽△CAP，然后證明AC=$\frac{5}{2}$AB；
（Ⅱ）利用切割線定理以及相交弦定理直接求AE•DE的值．

解答 （Ⅰ）證明：因為AM是圓O的切線，所以∠MAB=∠ACB，且∠M是公共角，
所以△ABM～△CAM，所以$\frac{AC}{AB}=\frac{AM}{MB}=\frac{5}{2}$，所以$AC=\frac{5}{2}AB$（5分）
（Ⅱ）解：由切割線定理得MA²=MB•MC，所以$MC=\frac{75}{2}$，
又MB=6，所以$BC=\frac{63}{2}$
又AD是∠BAC的角平分線，所以$\frac{AC}{AB}=\frac{CE}{BE}=\frac{5}{2}$，
所以$CE=\frac{5}{2}BE$，所以$CE=\frac{45}{2}$，BE=9．
所以由相交弦定理得AE•DE=CE•$BE=\frac{25}{2}×9=\frac{405}{2}$（10分）

點評 本題主要考查與圓有關(guān)的比例線段、相似三角形的判定及切線性質(zhì)的應(yīng)用．屬于中檔題．