Question

9．在正三棱錐P-ABC中，已知底面等邊三角形的邊長為6，側(cè)棱長為4．
（1）求證：PA⊥BC；
（2）求此三棱錐的全面積和體積．

Answer 1

分析 （1）取BC的中點(diǎn)M，連AM、BM．由△ABC是等邊三角形，可得AM⊥BC．再由PB=PC，得PM⊥BC．利用線面垂直的判定可得BC⊥平面PAM，進(jìn)一步得到PA⊥BC；
（2）記O是等邊三角形的中心，則PO⊥平面ABC．由已知求出高，可求三棱錐的體積．求出各面的面積可得三棱錐的全面積．

解答 （1）證明：取BC的中點(diǎn)M，連AM、BM．
∵△ABC是等邊三角形，
∴AM⊥BC．
又∵PB=PC，
∴PM⊥BC．
∵AM∩PM=M，
∴BC⊥平面PAM，
則PA⊥BC；
（2）解：記O是等邊三角形的中心，則PO⊥平面ABC．
∵△ABC是邊長為6的等邊三角形，
∴$AO=\frac{2}{3}AM=\frac{2}{3}×6×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=2\sqrt{3}$．
∴$PO=\sqrt{P{A^2}-A{O^2}}=2$，$PM=\sqrt{P{B^2}-B{M^2}}=\sqrt{7}$，
∵${S_{△ABC}}=\frac{{\sqrt{3}}}{4}×{6^2}=9\sqrt{3}$，
∴${V_{P-ABC}}=\frac{1}{3}{S_{△ABC}}•PO=6\sqrt{3}$；
${S_全}={S_底}+{S_側(cè)}=9\sqrt{3}+3×\frac{1}{2}×6×\sqrt{7}=9\sqrt{3}+9\sqrt{7}$．

點(diǎn)評 本題考查直線與平面垂直的判定與性質(zhì)，考查了柱、錐、臺體體積的求法，是中檔題．