Question

4．當(dāng)實(shí)數(shù)x，y滿足x²+y²=1時(shí)，|x+2y+a|+|3-x-2y|的取值與x，y均無(wú)關(guān)，則實(shí)數(shù)a的取范圍是[$\sqrt{5}$，+∞）．

Answer 1

分析 根據(jù)實(shí)數(shù)x，y滿足x²+y²=1，設(shè)x=cosθ，y=sinθ，求出x+2y的取值范圍，再討論a的取值范圍，求出|x+2y+a|+|3-x-2y|的值與x，y均無(wú)關(guān)時(shí)a的取范圍．

解答 解：∵實(shí)數(shù)x，y滿足x²+y²=1，
可設(shè)x=cosθ，y=sinθ，
則x+2y=cosθ+2sinθ=$\sqrt{5}$sin（θ+α），其中α=arctan2；
∴-$\sqrt{5}$≤x+2y≤$\sqrt{5}$，
∴當(dāng)a≥$\sqrt{5}$時(shí)，
|x+2y+a|+|3-x-2y|=（x+2y+a）+（3-x-2y）=a+3，其值與x，y均無(wú)關(guān)；
∴實(shí)數(shù)a的取范圍是[$\sqrt{5}$，+∞）．
故答案為：$[{\sqrt{5}}\right.，+∞）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓的方程以及絕對(duì)值的定義與應(yīng)用問(wèn)題，也考查了轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用問(wèn)題，是綜合性題目．