Question

1．已知f（x）=a^x-b（a＞0且a≠1，b∈R），g（x）=x+1，若對(duì)任意實(shí)數(shù)x均有f（x）•g（x）≤0，則$\frac{1}{a}+\frac{4}$的最小值為4．

Answer 1

分析 根據(jù)對(duì)任意實(shí)數(shù)x均有f（x）•g（x）≤0，求出a，b的關(guān)系，可求$\frac{1}{a}+\frac{4}$的最小值．

解答 解：f（x）=a^x-b，g（x）=x+1，
那么：f（x）•g（x）≤0，即（a^x-b）（x+1）≤0．
對(duì)任意實(shí)數(shù)x均成立，可得a^x-b=0，x+1=0，
故得ab=1．
那么：$\frac{1}{a}+\frac{4}$$≥2\sqrt{\frac{4}{ab}}$=4，當(dāng)且僅當(dāng)a=$\frac{1}{2}$，b=2時(shí)取等號(hào)．
故$\frac{1}{a}+\frac{4}$的最小值為4．
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了恒成立的問(wèn)題的轉(zhuǎn)化以及基本不等式的性質(zhì)的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題．