15.若經(jīng)過雙曲線左焦點的直線與雙曲線交于A,B兩點,則把線段AB稱為該雙曲線的左焦點弦,雙曲線C:$\frac{{x}^{2}}{4}$-y2=1長度為整數(shù)且不超過4的左焦點弦的條數(shù)為(  )
A.6B.7C.8D.10

分析 求得雙曲線$\frac{{x}^{2}}{4}$-y2=1中的a,b,c,可得左焦點F1(-$\sqrt{5}$,0).雙曲線過左焦點的焦點弦可以分為兩類:第一類,端點均在左支上,最短的為通徑,第二類,端點分別在兩支,最短為實軸.由此入手能夠求出結果.

解答 解:雙曲線$\frac{{x}^{2}}{4}$-y2=1中,a2=4,b2=1,c2=5,
左焦點F1(-$\sqrt{5}$,0),
雙曲線過左焦點的焦點弦可以分為兩類:
第一類,端點均在左支上,最短的為通徑,
將x=-$\sqrt{5}$代入橢圓方程,得y2=$\frac{5}{4}$-1,可得|y|=$\frac{1}{2}$,
可得通徑長為2|y|=1,
由長度為整數(shù)且不超過4,
可得符合條件的焦點弦長為1,2,3,4,
根據(jù)對稱性每個弦長對應2條弦,共2×3+1=7.
第二類,端點分別在兩支,最短為實軸,
2a=4,符合題意的弦長:4,
只有1條,
故滿足條件的弦共有:1+7=8條.
故選:C.

點評 本題考查雙曲線的性質及其應用,具體涉及到雙曲線的簡單性質,雙曲線和直線的位置關系,解題時要認真審題,仔細解答,注意分類討論思想的合理運用.

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