Question

2．若函數(shù)f（x）=2ae^x-x²+3（a為常數(shù)，e是自然對數(shù)的底）恰有兩個極值點，則實數(shù)a的取值范圍是（0，$\frac{1}{e}$）．

Answer 1

分析 函數(shù)恰有兩個極值點，等價于其導(dǎo)函數(shù)f′（x）恰有兩個零點，通過討論a討論函數(shù)的單調(diào)性，從而結(jié)合函數(shù)零點的判定定理確定實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：函數(shù)恰有兩個極值點，等價于f′（x）=2ae^x-2x恰有兩個零點，
①當(dāng)a＜0時，函數(shù)f（x）=2ae^x-x²+3，函數(shù)f′（x）=2ae^x-2x，
令f′（x）=0，ae^x=x，由函數(shù)圖象可知，y=ae^x和y=x僅有一個交點，
∴f（x）=2ae^x-x²+3僅有一個極值點；
②當(dāng)a=0時，f（x）=-x²+3，由二次函數(shù)圖象可知，f（x）僅有一個極值點；
③當(dāng)a＞0時，函數(shù)f（x）=2ae^x-x²+3，函數(shù)f′（x）=2ae^x-2x，
令f′（x）=0，a=$\frac{x}{{e}^{x}}$，
設(shè)g（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$，則g′（x）=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$，
令g′（x）=0，解得x=1，
當(dāng)g′（x）＞0，x＜1，
當(dāng)g′（x）＜0，x＞1，
g（x）在（-∞，1）單調(diào)遞增，（1，+∞）單調(diào)遞減；
∴g（x）最大值為g（1）=$\frac{1}{e}$，
總上可知，實數(shù)a的取值范圍是（0，$\frac{1}{e}$）．
故答案為：（0，$\frac{1}{e}$）．

點評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)求解問題方程的根，函數(shù)的交點，同時考查了函數(shù)零點的判定定理的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力，屬于中檔題．