Question

7．若x=2是函數(shù)f（x）=x（x-m）²的極大值點(diǎn)，則m的值為（　�。�

• A． 3
• B． 6
• C． 2或6
• D． 2

Answer 1

分析 由題意可知：求導(dǎo)，f′（2）=0，求得m的值，再分別利用函數(shù)極值的判斷，求得m的值．

解答 解：f（x）=x（x-m）²=x³-2mx²+m²x，則f′（x）=3x²-4mx+m²，
x=2是函數(shù)f（x）的極大值點(diǎn)，
f′（2）=0，12-8m+m²=0，解得m=2或6，
當(dāng)m=2時(shí)，f（x）=x（x-2）²，f′（x）=3x²-8x+4，
f′（x）＞0，解得：x＞2或x＜$\frac{2}{3}$，
f′（x）＜0，解得：$\frac{2}{3}$＜x＜2，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：（-∞，$\frac{2}{3}$），（2，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為：（$\frac{2}{3}$，2），
∴x=$\frac{2}{3}$是f（x）的極大值，x=2是f（x）的極小值；
當(dāng)m=6時(shí)，f（x）=x（x-6）²，f′（x）=3x²-24x+36，
f′（x）＞0，解得：x＞6或x＜2，
f′（x）＜0，解得：2＜x＜6，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：（-∞，2），（6，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為：（2，6），
∴x=2是f（x）的極大值，x=6是f（x）的極小值；
所以m=6，
故答案選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值的綜合應(yīng)用，考查分析問題和解決問題得能力，屬于中檔題．