Question

2．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=1-$\frac{1}{4{a}_{n}}$，其中n∈N^*．
（1）設b_n=$\frac{2}{2{a}_{n}-1}$，求證：數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，并求出{a_n}的通項公式；
（2）設c_n=$\frac{4{a}_{n}}{n+1}$，數(shù)列{c_nc_n+2}的前n項和為T_n，求證：T_n＜3．

Answer 1

分析 （1）由a_n+1=1-$\frac{1}{4{a}_{n}}$，b_n=$\frac{2}{2{a}_{n}-1}$，只要證明：b_n+1-b_n=常數(shù)即可得出，再利用等差數(shù)列的通項公式即可得出b_n．
（2）由c_n=$\frac{4{a}_{n}}{n+1}$=$\frac{2}{n}$，可得c_nc_n+2=$\frac{4}{n（n+2）}$=2$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$，利用“裂項求和”與不等式的性質即可得出．

解答 （1）證明：∵a_n+1=1-$\frac{1}{4{a}_{n}}$，b_n=$\frac{2}{2{a}_{n}-1}$，
∴b_n+1-b_n=-$\frac{2}{2{a}_{n+1}-1}$-$\frac{2}{2{a}_{n}-1}$=$\frac{2}{2（1-\frac{1}{4{a}_{n}}）-1}$-$\frac{2}{2{a}_{n}-1}$=$\frac{4{a}_{n}}{2{a}_{n}-1}$-$\frac{2}{2{a}_{n}-1}$=2（常數(shù)），
∴數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列．
∵a₁=1，
∴b₁=2，b_n=2+（n-1）×2=2n，
由b_n=2n，∴$\frac{2}{2{a}_{n}-1}$=2n，
得a_n=$\frac{n+1}{2n}$．
（2）證明：由c_n=$\frac{4{a}_{n}}{n+1}$=$\frac{4×\frac{n+1}{2n}}{n+1}$=$\frac{2}{n}$，
∴c_nc_n+2=$\frac{4}{n（n+2）}$=2$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$，
∴數(shù)列{c_nc_n+2}的前n項和為T_n=2$[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{4}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}）$+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）]$
=2$（1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$
=3-$\frac{2n+3}{2（n+1）（n+3）}$＜3．
∴T_n＜3．

點評 本題考查了遞推關系、等差數(shù)列的通項公式、“裂項求和”方法、不等式的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．