Question

15．已知{a_n}是公差為3的等差數(shù)列，數(shù)列{b_n}滿足b₁=1，b₂=$\frac{1}{3}$，a_nb_n+1+b_n+1=nb_n．
（Ⅰ）求{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）求{b_n}的前n項和．

Answer 1

分析 （Ⅰ）令n=1，可得a₁=2，結(jié)合{a_n}是公差為3的等差數(shù)列，可得{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）由（1）可得：數(shù)列{b_n}是以1為首項，以$\frac{1}{3}$為公比的等比數(shù)列，進而可得：{b_n}的前n項和．

解答 解：（Ⅰ）∵a_nb_n+1+b_n+1=nb_n．
當(dāng)n=1時，a₁b₂+b₂=b₁．
∵b₁=1，b₂=$\frac{1}{3}$，
∴a₁=2，
又∵{a_n}是公差為3的等差數(shù)列，
∴a_n=3n-1，
（Ⅱ）由（I）知：（3n-1）b_n+1+b_n+1=nb_n．
即3b_n+1=b_n．
即數(shù)列{b_n}是以1為首項，以$\frac{1}{3}$為公比的等比數(shù)列，
∴{b_n}的前n項和S_n=$\frac{1-（\frac{1}{3}）^{n}}{1-\frac{1}{3}}$=$\frac{3}{2}$（1-3^-n）=$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2•{3}^{n-1}}$．

點評 本題考查的知識點是數(shù)列的遞推式，數(shù)列的通項公式，數(shù)列的前n項和公式，難度中檔．