Question

1．如圖，已知四邊形ABEF為矩形，四邊形ABCD為直角梯形，平面ABEF⊥平面ABCD，∠BAD=90°，AB∥CD，AF=BC=2，CD=3，AB=4．
（1）求證：AC⊥平面BCE；
（2）求三棱錐E-BCF的體積．

Answer 1

分析 （1）過C作CM⊥AB于M，則四邊形ABCM為矩形，利用勾股定理計算CM，AC，根據(jù)勾股定理的逆定理得出AC⊥BC，由面面垂直可得BE⊥平面ABCD，故AC⊥BE，于是AC⊥平面ABCD；
（2）以△BEF為棱錐的底面，則CM為棱錐的高，代入公式計算即可．

解答 證明：（1）過C作CM⊥AB于M，∵AD⊥DC，AB∥CD，
∴四邊形ADCM為矩形．
∴AM=CD=3，M=AB-AM=1，
∴AD=CM=$\sqrt{B{C}^{2}-B{M}^{2}}$=$\sqrt{3}$，∴AC=$\sqrt{A{M}^{2}+C{M}^{2}}$=2$\sqrt{3}$．
∴AC²+BC²=AB²，∴AC⊥BC．
∵平面ABEF⊥平面ABCD，平面ABEF∩ABCD=AB，BE⊥AB，BE?平面ABEF，
∴BE⊥平面ABCD，∵AC?平面ABCD，
∴BE⊥AC，又∵BE?BCE，BC?平面BCE，BC∩BE=B，
∴AC⊥平面BCE．
（2）∵平面ABEF⊥平面ABCD，平面ABEF∩ABCD=AB，CM⊥AB，CM?平面ABCD，
∴CM⊥平面ABEF．
∴V_E-BCF=V_C-BEF=$\frac{1}{3}{S}_{△BEF}•CM$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×4×2×\sqrt{3}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查了線面垂直的判定，棱錐的體積計算，屬于中檔題．