Question

已知數(shù)列a₁，a₂，…a_n，…和數(shù)列b₁，b₂，…，b_n…，其中a₁=p，b₁=q，a_n=pa_n-1，b_n=qa_n-1+rb_n-1（n≥2），（p，q，r是已知常數(shù)，且q≠0，p＞r＞0），用p，q，r，n表示b_n，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明．

Answer 1

分析：先根據(jù)a_n=pa_n-1求出a_n的表達(dá)式，然后代入n=1，2，3進(jìn)行求出b₁、b₂、b₃的式子，猜想bn=

q(pn-rn)

p-r

．然后用數(shù)學(xué)歸納法分3步進(jìn)行證明．

解答：解：∵a₁=p，a_n=pa_n-1，
∴a_n=pⁿ．又b₁=q，
b₂=qa₁+rb₁=q（p+r），
b₃=qa₂+rb₂=q（p²+pq+r²），
設(shè)想bn=q(pn-1+pn-2r+…+rn-1)=

q(pn-rn)

p-r

．
用數(shù)學(xué)歸納法證明：
當(dāng)n=2時(shí)，b2=q(p+r)=

q(p2-r2)

p-r

，等式成立；
設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，等式成立，即bk=

q(pk-rk)

p-r

，
則b_k+1=qa_k+rb_k=qpk+

rq(pk-rk)

p-r

=

q(pk+1-rk+1)

p-r

，
即n=k+1時(shí)等式也成立，
所以對(duì)于一切自然數(shù)n≥2，bn=

q(pn-rn)

p-r

都成立．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求法和數(shù)學(xué)歸納法的證明．考查綜合運(yùn)用能力．