Question

2．已知函數(shù)f（x）=2xe^x
（1）過(guò)點(diǎn)（-4，0）作曲線y=f（x）的切線l，求切線l的方程；
（2）若實(shí)數(shù)a滿足（a-1）（e^a-1）＞0，求證：對(duì)任意x∈（0，+∞），a[f（x）-a（e^2x-1）]＜0恒成立．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意設(shè)切線l的方程為y=k（x+4），切點(diǎn)為（x₀，f（x₀）），利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義和斜率公式即可求出切點(diǎn)，問(wèn)題得以解決，
（2）先求出a的范圍，再構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）-a（e^2x-1），利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值，即可證明．

解答 解：（1）根據(jù)題意設(shè)切線l的方程為y=k（x+4），切點(diǎn)為（x₀，f（x₀）），
則k=f′（x），
∵f′（x）=2e^x（x+1），
∴$\frac{f（{x}_{0}）-0}{{x}_{0}+4}$=$\frac{2{x}_{0}{e}^{{x}_{0}}}{{x}_{0}+4}$=f′（x₀）=2${e}^{{x}_{0}}$（x₀+1），
∴x₀²+4x₀+4=0，
解得x₀=-2，
∴k=-$\frac{2}{{e}^{2}}$，
∴切線l的方程為y=-$\frac{2}{{e}^{2}}$（x+4），
（2）證明：由題意（a-1）（e^a-1）＞0，解得a＞1或a＜0，
設(shè)g（x）=f（x）-a（e^2x-1），
∴g′（x）=2e^x（x+1-ae^x），
當(dāng)a＞1時(shí)，g′（x）=2e^x（x+1-ae^x），
令h（x）=x+1-ae^x，
∴h′（x）=1-ae^x＜0恒成立，
∴h（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減，
∴h（x）＜h（0）=0，
∴g′（x）=2e^x（x+1-ae^x）＜0，
∴g（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減，
∴g（x）＜g（0）=0，
∴ag（x）＜0恒成立，
當(dāng)a＜0時(shí)，g′（x）=2e^x（x+1-ae^x）＞0，
∴g（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，
∴g（x）＞g（0）=0，
∴ag（x）＜0恒成立，
綜上所述對(duì)任意x∈（0，+∞），a[f（x）-a（e^2x-1）]＜0恒成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性最值、恒成立問(wèn)題的等價(jià)轉(zhuǎn)化方法，考查了分類討論思想方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．