Question

如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)面AA₁B₁B為正方形，側(cè)面BB₁C₁C為菱形，∠CBB₁=60°，AB⊥B₁C．
（I）求證：平面AA₁B₁B⊥平面BB₁C₁C；
（II）求二面角B-AC-A₁的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用線面、面面垂直的判定定理即可證明；
（Ⅱ）通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用兩平面的法向量的夾角即可得到二面角．

解答：證明：（Ⅰ）由側(cè)面AA₁B₁B為正方形，知AB⊥BB₁．
又AB⊥B₁C，BB₁∩B₁C=B₁，∴AB⊥平面BB₁C₁C，
又AB?平面AA₁B₁B，∴平面AA₁B₁B⊥BB₁C₁C．
（Ⅱ）由題意，CB=CB₁，設(shè)O是BB₁的中點(diǎn)，連接CO，則CO⊥BB₁．
由（Ⅰ）知，CO⊥平面AB₁B₁A．建立如圖所示的坐標(biāo)系O-xyz．
其中O是BB₁的中點(diǎn)，Ox∥AB，OB₁為y軸，OC為z軸．
不妨設(shè)AB=2，則A（2，-1，0），B（0，-1，0），C（0，0，

3

），A₁（2，1，0）．

AB

=（-2，0，0），

AC

=（-2，1，

3

），

AA1

=(0，2，0)．
設(shè)

n1

=（x₁，y₁，z₁）為面ABC的法向量，則

n1

•

AB

=0，

n1

•

AC

=0，
即

-2x1=0 -2x1+y1+ 3 z1=0

取z₁=-1，得

n1

=（0，

3

，-1）．
設(shè)

n2

=（x₂，y₂，z₂）為面ACA₁的法向量，則

n2

•

AA1

=0，

n2

•

AC

=0，
即

2y2=0 -2x2+y2+ 3 z2=0

取x₂=

3

，得

n2

=（

3

，0，2）．
所以cos?n₁，n₂＞=

n1• n2

| n1 | | n2 |

=-

7

7

．
因此二面角B-AC-A₁的余弦值為-

7

7

．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握線面、面面垂直的判定定理、通過建立空間直角坐標(biāo)系并利用兩平面的法向量的夾角求二面角的方法是解題的關(guān)鍵．