Question

11．在△ABC中，a，b，c分別是∠A，∠B，∠C的對邊．若（a+b-c）（a+b+c）=ab，c=$\sqrt{3}$，當(dāng)ab取得最大值時，S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

Answer 1

分析 由已知及基本不等式可求ab≤1，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號，當(dāng)ab取得最大值時，由余弦定理可求cosC，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinC，進而利用三角形面積公式即可計算得解．

解答 解：∵（a+b-c）（a+b+c）=ab，c=$\sqrt{3}$，
∴（a+b）²-c²=ab，可得：a²+b²=c²-ab=3-ab，
∵a²+b²≥2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號，
∴3-ab≥2ab，即：ab≤1，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號，
∴當(dāng)ab取得最大值時，a=b=1，可得：cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=-$\frac{1}{2}$，sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
可得：S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}×1×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

點評 本題主要考查了基本不等式，余弦定理，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，三角形面積公式在解三角形中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．