Question

19．某校舉行運動會，其中三級跳遠的成績在8.0米（四舍五入，精確到0.1米）以上的進入決賽，把所得數(shù)據(jù)進行整理后，分成6組畫出頻率分布直方圖的一部分（如圖），已知從左到右前5個小組的頻率分別為0.04，0.10，0.14，0.28，0.30，第6小組的頻數(shù)是7．
（Ⅰ）求進入決賽的人數(shù)；
（Ⅱ）若從該校學生（人數(shù)很多）中隨機抽取兩名，記X表示兩人中進入決賽的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學期望；
（Ⅲ）經(jīng)過多次測試后發(fā)現(xiàn)，甲成績均勻分布在8～10米之間，乙成績均勻分布在9.5～10.5米之間，現(xiàn)甲，乙各跳一次，求甲比乙遠的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由頻率分直方圖求出第6小組的頻率，從而求出總?cè)藬?shù)，進而得到第4、5、6組成績均進入決賽，由此能求出進入決賽的人數(shù)．
（Ⅱ）由題意知X的可能取值為0，1，2，進入決賽的概率為$\frac{36}{50}=\frac{18}{25}$，從而X～$（2，\frac{18}{25}）$，由此能求出X的分布列及數(shù)學期望．
（Ⅲ）設甲、乙各跳一次的成績分別為x、y米，則基本事件滿足的區(qū)域為：$\left\{\begin{array}{l}{8≤x≤10}\\{9.5≤y≤10.5}\end{array}\right.$，由此利用幾何概型能求出甲比乙遠的概率．

解答 解：（Ⅰ）第6小組的頻率為1-（0.04+0.10+0.14+0.28+0.30）=0.14，
∴總?cè)藬?shù)為$\frac{7}{0.14}=50$（人）．…（2分）
∴第4、5、6組成績均進入決賽，人數(shù)為（0.28+0.30+0.14）×50=36（人）
即進入決賽的人數(shù)為36．…（4分）
（Ⅱ）由題意知X的可能取值為0，1，2，進入決賽的概率為$\frac{36}{50}=\frac{18}{25}$，
∴X～$（2，\frac{18}{25}）$，$P（{x=0}）=C_2^0{（\frac{7}{25}）^2}=\frac{49}{625}$，
P（X=1）=${C}_{2}^{1}（\frac{7}{25}）（\frac{18}{25}）=\frac{252}{625}$，
$P（{x=2}）=C_2^2{（\frac{18}{25}）^2}=\frac{324}{625}$．…（6分）
∴所求分布列為：

X	0	1	2
P	$\frac{49}{625}$	$\frac{252}{625}$	$\frac{324}{625}$

$EX=2×\frac{18}{25}=\frac{36}{25}$，兩人中進入決賽的人數(shù)的數(shù)學期望為$\frac{36}{25}$．…（8分）
（Ⅲ）設甲、乙各跳一次的成績分別為x、y米，
則基本事件滿足的區(qū)域為：$\left\{\begin{array}{l}{8≤x≤10}\\{9.5≤y≤10.5}\end{array}\right.$，
事件A“甲比乙遠的概率”滿足的區(qū)域為x＞y，如圖所示．…（10分）
∴由幾何概型P（A）=$\frac{\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}}{1×2}$=$\frac{1}{16}$．
即甲比乙遠的概率為$\frac{1}{16}$．…（12分）

點評 本題考查頻率分布直方圖的應用，考查離散型隨機變量的分布列及數(shù)學期望的求法，考查概率的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意二項分布的性質(zhì)的合理運用．