Question

11．對于函數(shù)f（x）和實(shí)數(shù)M，若存在m，n∈N⁺，使f（m）+f（m+1）+f（m+2）+…+f（m+n）=M成立，則稱（m，n）為函數(shù)f（x）關(guān)于M的一個“生長點(diǎn)”．若（1，2）為函數(shù)f（x）=cos（$\frac{π}{2}$x+$\frac{π}{3}$）關(guān)于M的一個“生長點(diǎn)”，則M=-$\frac{1}{2}$；若f（x）=2x+1，M=105，則函數(shù)f（x）關(guān)于M的“生長點(diǎn)”共有3個．

Answer 1

分析 根據(jù)“生長點(diǎn)”的定義建立方程即可求M，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式進(jìn)行判斷即可．

解答 解：若（1，2）為函數(shù)f（x）=cos（$\frac{π}{2}$x+$\frac{π}{3}$）關(guān)于M的一個“生長點(diǎn)”，
則M=f（1）+f（2）+f（3）=cos（$\frac{π}{2}$+$\frac{π}{3}$）+cos（$\frac{π}{2}$×2+$\frac{π}{3}$）+cos（$\frac{π}{2}$×3+$\frac{π}{3}$）
=-sin$\frac{π}{3}$-cos$\frac{π}{3}$+cos（-$\frac{π}{6}$）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$=-$\frac{1}{2}$，
若f（x）=2x+1，M=105，
則f（m）是公差為2的等差數(shù)列，
則由f（m）+f（m+1）+f（m+2）+…+f（m+n）=105
得（n+1）（2m+1）+$\frac{（n+1）•n}{2}×2$=105
即（n+1）（2m+1）+n（n+1）=105，
即（n+1）（2m+n+1）=105，
∵105=1×105=3×35=5×21=7×15，
∴由$\left\{\begin{array}{l}{n+1=3}\\{2m+n+1=35}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{n=2}\\{m=16}\end{array}\right.$，此時“生長點(diǎn)”為（2，16），
由$\left\{\begin{array}{l}{n+1=5}\\{2m+n+1=21}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{n=4}\\{m=8}\end{array}\right.$，此時“生長點(diǎn)”為（4，8），
由$\left\{\begin{array}{l}{n+1=7}\\{2m+n+1=15}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{n=6}\\{m=4}\end{array}\right.$，此時“生長點(diǎn)”為（6，4），
故函數(shù)f（x）關(guān)于M的“生長點(diǎn)”共有3個，
故答案為：-$\frac{1}{2}$，3

點(diǎn)評 本題主要考查與等差數(shù)列有關(guān)的新定義問題，讀懂題意結(jié)合等差數(shù)列的求和公式，利用分類討論的數(shù)學(xué)思想是解決本題的關(guān)鍵．