Question

【題目】已知函數(shù)，其中.

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

（Ⅱ）若對(duì)任意，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)題意，代入，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，判斷函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)特殊值，即可判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

（Ⅱ）根據(jù)題意，解決函數(shù)恒成立問(wèn)題，方法一：轉(zhuǎn)化對(duì)任意恒成立，則有對(duì)任意恒成立，構(gòu)造函數(shù)，只需求，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)最值問(wèn)題。方法二：對(duì)任意恒成立.構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化成射線(xiàn)與函數(shù)的圖象相切時(shí)屬臨界狀態(tài)，計(jì)算求解；方法三：含參的函數(shù)最小值探究，只需，即可求解參數(shù)取值范圍.

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，其定義域?yàn)?/span>，

求導(dǎo)得，

于是當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，又，所以函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1；

（Ⅱ）法1：因?qū)θ我?/span>，恒成立，即對(duì)任意恒成立，于是對(duì)任意恒成立，

令，只需.

對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，得，令，

則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.

又，所以當(dāng)時(shí)，，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以函數(shù)，于是，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.

法2：因?qū)θ我?/span>，恒成立，即對(duì)任意恒成立.構(gòu)造函數(shù)，對(duì)其求導(dǎo)，得，

令，得（舍去），所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增.

函數(shù)的圖象是一條過(guò)原點(diǎn)的射線(xiàn)（不包括端點(diǎn)），旋轉(zhuǎn)射線(xiàn)（不含端點(diǎn)），發(fā)現(xiàn)與函數(shù)的圖象相切時(shí)屬臨界狀態(tài).

設(shè)切點(diǎn)為，則，整理得，

顯然在上是增函數(shù)，又，所以，此時(shí)切線(xiàn)斜率為1，結(jié)合圖象，可知實(shí)數(shù)的取值范圍為.

法3：根據(jù)題意只需即可.

又，令，因2與異號(hào)，所以必有一正根，不妨設(shè)為，則，即，

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，

又在上是減函數(shù)，又，所以，

由得在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.