Question

11．已知圓C（m，0）（m＜3），半徑為$\sqrt{5}$，A（3，1）是圓C與橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的一個公共點(diǎn)，且F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓E的左、右焦點(diǎn)．
（1）求實(shí)數(shù)m的值；
（2）若點(diǎn)P（4，4），試探究斜率為k的直線PF₁與圓C能否相切，若能，求出橢圓E和直線PF₁的方程，若不能，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知條件設(shè)出圓的方程，將A點(diǎn)的坐標(biāo)代入即可求得m的值，根據(jù)m的取值范圍，即可求得m的值；
（2）設(shè)出直線方程，假設(shè)與圓相切，求得k的值，并求得與x軸的交點(diǎn)，排除k的值，求得直線方程，求得c的值，根據(jù)橢圓的定義求得a的值，即可求得橢圓方程及直線PF₁的方程．

解答 解：（1）由已知可設(shè)圓的方程為（x-m）²+y²=5，m＜3，
將點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓C的方程，得到（3-m）²+1=5，
解得：m=1或m=5，
∵m＜3，
∴m=1，
（2）直線PF₁與圓C相切，依題意設(shè)直線PF₁的方程為y=k（x-4）+4，即kx-y-4k+4=0，
若直線PF₁與圓C相切，則$\frac{丨k-0-4k+4丨}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{5}$，
∴4k²-24k+11=0，解得：k=$\frac{11}{2}$或k=$\frac{1}{2}$，
當(dāng)k=$\frac{11}{2}$時，直線PF₁與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為$\frac{36}{11}$，不合題意，舍去；
當(dāng)k=$\frac{1}{2}$時，直線PF₁與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為-4，滿足題意，此時直線PF₁的方程為：x-2y+4=0；
∴c=4，F(xiàn)₁（-4，0），F(xiàn)₂（4，0），
∴由橢圓的定義可知：2a=丨AF₁丨+丨AF₂丨=$\sqrt{（3+4）^{2}+1}$+$\sqrt{（3-4）^{2}+1}$=5$\sqrt{2}$+$\sqrt{2}$=6$\sqrt{2}$，
∴a=3$\sqrt{2}$，a²=18，
∴b²=a²-c²=2，
∴直線PF₁與圓C相切時，直線PF₁的方程為x-2y+4=0，
∴橢圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{18}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．

點(diǎn)評 本題考查圓的方程和橢圓方程的求法，直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，解題時要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化，屬于中檔題．