Question

2．已知雙曲線x²-$\frac{y^2}{a^2}$=1（a＞0）的漸近線與圓（x-1）²+y²=$\frac{3}{4}$相切，則a=（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{5}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． $2\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由雙曲線方程求得其一條漸近線方程，根據(jù)圓的方程求得圓心與半徑，由題意可得：圓心到漸近線的距離等于半徑，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，即可求得a的值．

解答 解：由雙曲線x²-$\frac{y^2}{a^2}$=1（a＞0）的一條漸近線為y=-ax，即y+ax=0，
圓（x-1）²+y²=$\frac{3}{4}$的圓心為（1，0），半徑為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
由題意可知：圓心到漸近線的距離等于半徑，即$\frac{丨a丨}{\sqrt{1+{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
由a＞0，解得：a=$\sqrt{3}$，
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的漸近線方程、直線與圓相切的性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離公式，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．