Question

10．對(duì)于函數(shù)f（x）=$\sqrt{a{x^2}+bx}$，存在一個(gè)正數(shù)b，使得f（x）的定義域和值域相同，則非零實(shí)數(shù)a的值為（　　）

• A． 2
• B． -2
• C． -4
• D． 4

Answer 1

分析 由題意：函數(shù)f（x）=$\sqrt{a{x^2}+bx}$，對(duì)a討論，求其定義域和值域相同，討論a的值．

解答 解：由題意：函數(shù)f（x）=$\sqrt{a{x^2}+bx}$，
若a＞0，由于ax²+bx≥0，即x（ax+b）≥0，
∴對(duì)于正數(shù)b，f（x）的定義域?yàn)椋篋=（-∞，-$\frac{a}$]∪[0，+∞），
但f（x）的值域A⊆[0，+∞），故D≠A，不合要求．
若a＜0，對(duì)于正數(shù)b，f（x）的定義域?yàn)?nbsp;D=[0，-$\frac{a}$]．
由于此時(shí)函數(shù) f（x）_max=f（-$\frac{2a}$）=$\sqrt{a×（\frac{2a}）^{2}+b×（-\frac{2a}）}$=$\sqrt{\frac{-^{2}}{4a}}$=$\frac{2}\sqrt{\frac{1}{-a}}$．
故函數(shù)的值域 A=[0，$\frac{2}\sqrt{\frac{1}{-a}}$]，
由題意，有：$-\frac{a}$=$\frac{2}\sqrt{\frac{1}{-a}}$，
由于b＞0，
解得：a=-4．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的定義域和值域的求法，對(duì)開(kāi)口方向討論其之間的范圍問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．屬于中檔題．