Question

12．設(shè)函數(shù)f（x）=1nx+$\frac{a}{2}$x²-（a+1）x（a∈R）．
（1）當(dāng)a=$\frac{1}{2}$時(shí)，求函數(shù)（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)x＞1時(shí)，若f（x）$＜\frac{a}{2}{x}^{2}$-x-a（a＞0）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）將a=$\frac{1}{2}$代入f（x）求出函數(shù)的表達(dá)式，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）問題等價(jià)于lnx＜a（x-1）恒成立，（x＞1，a＞0），令h（x）=lnx，m（x）=a（x-1），結(jié)合圖象求出a的范圍即可．

解答 解：（1）a=$\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）=lnx+$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x，（x＞0），
f′（x）=$\frac{（x-2）（x-1）}{2x}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞2或x＜1，
令f′（x）＜0，解得：1＜x＜2，
∴f（x）在（0，1），（2，+∞）遞增，在（1，2）遞減；
（2）當(dāng)x＞1時(shí)，若f（x）$＜\frac{a}{2}{x}^{2}$-x-a（a＞0）恒成立，
等價(jià)于lnx＜a（x-1）恒成立，（x＞1，a＞0），
令h（x）=lnx，m（x）=a（x-1），
，
只需直線m（x）=a（x-1）的斜率a＞h′（1）=1即可，
∴a＞1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了求函數(shù)的單調(diào)性問題，考查函數(shù)恒成立問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．