Question

17．已知函數(shù)f（x）=ax，g（x）=lnx，其中a∈R．
（1）若函數(shù)F（x）=f[sin（1-x）]+g（x）在區(qū)間（0，1）上為增函數(shù)，求a的取值范圍；
（2）設(shè)a_n=sin$\frac{1}{（n+1）^{2}}$，求證：$\sum_{k=1}^{n}{a}_{k}$＜ln2．

Answer 1

分析 （1）因?yàn)楹瘮?shù)F（x）=f[sin（1-x）]+g（x）在區(qū)間（0，1）上為增函數(shù)，可以對其進(jìn)行轉(zhuǎn)化，可以轉(zhuǎn)化為F′（x）＞0在（0，1）上恒成立，利用常數(shù)分離法進(jìn)行求解；
（2）這個(gè)證明題可以利用一個(gè)恒等式，sinx＜x，然后對$\sum_{k=1}^{n}$sin$\frac{1}{{（k+1）}^{2}}$從第三項(xiàng)開始進(jìn)行放縮，然后進(jìn)行證明．

解答 （1）解：∵函數(shù)F（x）=f[sin（1-x）]+g（x）=asin（1-x）+lnx，
∴F′（x）=acos（1-x）×（-1）+$\frac{1}{x}$，
只要F′（x）在區(qū)間（0，1）上大于等于0，
∴F′（x）=acos（1-x）×（-1）+$\frac{1}{x}$≥0，
∴a≤$\frac{1}{xcos（1-x）}$，求 $\frac{1}{xcos（1-x）}$的最小值即可，
求h（x）=xcos（1-x）的最大值即可，0＜1-x＜1，
∵h(yuǎn)′（x）=cos（1-x）+xsin（1-x）＞0，
∴h（x）在（0，1）增函數(shù)，
h（x）＜h（1）=1，
∴$\frac{1}{xcos（1-x）}$的最小值為1，
∴a≤1；
（2）證明：∵0＜$\frac{1}{{（k+1）}^{2}}$＜1，
∵sinx＜x在x∈（0，1）上恒成立，
∴$\sum_{k=1}^{n}$sin$\frac{1}{{（k+1）}^{2}}$=sin$\frac{1}{{2}^{2}}$+sin$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+sin$\frac{1}{{（n+1）}^{2}}$≤$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{（n+1）}^{2}}$＜$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{9}$+$\frac{1}{16}$+$\frac{1}{4×5}$+$\frac{1}{5×6}$+…+$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{97}{144}$-$\frac{1}{n+1}$＜$\frac{97}{144}$＜ln2，
∴$\sum_{k=1}^{n}$sin$\frac{1}{{（k+1）}^{2}}$＜ln2．

點(diǎn)評 第一問利用導(dǎo)數(shù)可以很容易解決，第二問利用了常數(shù)分離法進(jìn)行證明，第三問需要進(jìn)行放縮證明，主要利用sinx＜x進(jìn)行證明，此題難度比較大，計(jì)算量比較大．