已知向量
=(sinx,2
3
cosx
),
=(2sinx,sinx),設(shè)f(x)=
 • 
-1
,
(1)求f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)若x∈[ 0 ,  
π
2
 ]
,求f(x)的值域;
(3)若f(x)的圖象按
=(t,0)作長度最短的平移后,其圖象關(guān)于原點對稱,求
的坐標(biāo).
分析:(1)由已知中向量
=(sinx,2
3
cosx
),
=(2sinx,sinx),設(shè)f(x)=
 • 
-1
,根據(jù)向量數(shù)量積計算公式,我們易求出f(x)的解析式,利用降冪公式(二倍角公式逆用)及輔助角公式,我們可將其化為正弦型函數(shù)的形式,進而根據(jù)正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì),得到(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)根據(jù)(1)中所得函數(shù)f(x)的解析式,結(jié)合x∈[ 0 ,  
π
2
 ]
及正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì),可求出此時f(x)的值域;
(3)f(x)的圖象按
=(t,0)作長度最短的平移后,其圖象關(guān)于原點對稱,即此時原點是f(x)的對稱中心,根據(jù)(1)中解析式,求出函數(shù)f(x)的距離原點最近的對稱中心,即可得到
的坐標(biāo).
解答:解:f(x)= 
 • 
-1=2sin2x+2
3
cosxsinx-1
=1-cos2x+
3
sin2x-1
=2sin ( 2x-
π
6
 )
(4分)
(1)最小正周期為:T=
2
-
π
2
+2kπ≤2x-
π
6
π
2
+2kπ
(k∈Z)-
π
6
+kπ≤x≤
π
3
+kπ
(k∈Z)
∴單調(diào)遞增區(qū)間為[-
π
6
+kπ
,
π
3
+kπ
](k∈Z)(7分)
(2)∵x∈[ 0 ,   
π
2
 ]
2x-
π
6
∈[ -
π
6
 ,   
5
6
π ]

sin ( 2x-
π
6
 )∈[ -
1
2
 ,   1 ]
∴f(x)∈[-1,2](10分)
(3)2x-
π
6
=kπ⇒x=
π
12
+
2
(k∈Z)
∴f(x)的對稱中心坐標(biāo)為(
π
12
+
2
,0)(k∈Z)
∵f(x)的圖象按
的長度最短的平移
=(- 
π
12
 ,   0 )
(13分)
點評:本題考查的知識點是平面向量的數(shù)量積運算,正弦型函數(shù)的周期,單調(diào)性,最值及函數(shù)圖象的平移變換,是三角函數(shù)圖象和性質(zhì)與平面向量的綜合應(yīng)用,熟練掌握正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知向量a=(sinx,cos),b=(cosx,sinx-2cosx),0<x<
π2

(Ⅰ)若a∥b,求x;
(Ⅱ)設(shè)f(x)=a•b,函數(shù)f(x)經(jīng)過怎樣的平移才能使所得的圖象對應(yīng)的函數(shù)成為奇函數(shù)?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知向量
a
=(sinx,cosx),
b
=(1,-2),且
a
b
,則tan2x=
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知向量
a
=(sinx,-1),
b
=(
3
cosx,-
1
2
),函數(shù)f(x)=(
a
+
b
)•
a
-2.
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期T;
(2)已知a,b,c分別為△ABC內(nèi)角A,B,C的對邊,其中A為銳角,a=2
3
,c=4,且f(A)=1,求A,b和△ABC的面積S.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知向量
a
=(sinx,cosx),
b
=(cosx,sinx-2cosx),0<x<
π
2

(Ⅰ)若
a
b
,求x;
(Ⅱ)設(shè)f(x)=
a
b
,
(1)求f(x)的單調(diào)增區(qū)間;
(2)函數(shù)f(x)經(jīng)過怎樣的平移才能使所得的圖象對應(yīng)的函數(shù)成為奇函數(shù)?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知向量
a
=(sinx,cosx),
b
=(1,一2),且
a
b
,則tan(2x+
π
4
)
=
-
1
7
-
1
7

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