Question

已知數列{a_n}，滿足a₁=5，a₂=5，a_n+1=a_n+6a_n-1，求{a_n}的通項公式．

Answer 1

考點：數列遞推式

專題：等差數列與等比數列

分析：構造數列{a_n+1+λa_n}成等比數列，求出前3項，利用等比數列的性質，直接求出λ的值，得出{a_n+2a_n-1}是首項為15公比為3的等比數列，{a_n-3a_n-1}是首項為-10，公比為-2的等比數列，得到方程組，然后求數列{a_n}的通項公式．

解答： 解：（1）因為數列{a_n}滿足a₁=5，a₂=5，a_n+1=a_n+6a_n-1（n≥2，n∈N*），
設數列{a_n+1+λa_n}是等比數列，
∴前三項分別為5+5λ，35+5λ，65+35λ 
∴（7+λ）²=（1+λ）（13+7λ），
解得λ=-3或2．
當n≥2時，{a_n+2a_n-1}是首項為15公比為3的等比數列，
{a_n-3a_n-1}是首項為-10，公比為-2的等比數列．
得a_n+1+2a_n=15×3^n-1，…①
a_n+1-3a_n=-10×（-2）^n-1…②
由①-②得a_n=3ⁿ-（-2）ⁿ．

點評：本題考查等比數列的基本性質，考查計算能力，利用數列的前3項是等比數列建立方程是解題的關鍵，用解方程組的方法求出數列通項，設計巧妙，值得借鑒．