Question

20．已知a＞b＞1，若log_ab+log_ba=$\frac{10}{3}$，a^b=b^a，則a+b=4$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 設(shè)t=log_ba并由條件求出t的范圍，代入log_ab+log_ba=$\frac{10}{3}$化簡(jiǎn)后求出t的值，得到a與b的關(guān)系式代入a^b=b^a化簡(jiǎn)后列出方程，求出a、b的值．

解答 解：設(shè)t=log_ba，由a＞b＞1知t＞1，
代入log_ab+log_ba=t+$\frac{1}{t}$=$\frac{10}{3}$，
即3t²-10t+3=0，解得t=3或t=$\frac{1}{3}$（舍去），
所以log_ba=3，即a=b³，
因?yàn)閍^b=b^a，所以b^3b=b^a，則a=3b=b³，
解得b=$\sqrt{3}$，a=3$\sqrt{3}$，
則a+b=4$\sqrt{3}$，
故答案為：4$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，以及換元法在解方程中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．