Question

11．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{x}^{2}+3}{x-a}$（x＞a，a為非零常數(shù)）的最小值為6，則實數(shù)a的值為1．

Answer 1

分析 x＞a，就是x-a＞0，把f（x）的分子分組推出=（x-a）+$\frac{{a}^{2}+3}{x-a}$+2a，利用基本不等式求出最小值，最小值為6，再求a的值．

解答 解：∵x＞a，∴x-a＞0．
f（x）=$\frac{{x}^{2}+3}{x-a}$=$\frac{{x}^{2}-{a}^{2}+{a}^{2}+3}{x-a}$=
=（x+a）+$\frac{{a}^{2}+3}{x-a}$=（x-a）+$\frac{{a}^{2}+3}{x-a}$+2a
≥2$\sqrt{（x-a）•\frac{{a}^{2}+3}{x-a}}$+2a=2$\sqrt{{a}^{2}+3}$+2a．
當且僅當x=a+$\sqrt{{a}^{2}+3}$時，取“=”，
故f（x）_min=2$\sqrt{{a}^{2}+3}$+2a=6，
解得a=1．
故答案為：1．

點評 本題考查分式不等式的解法，基本不等式求函數(shù)的最值及其幾何意義，考查分析問題解決問題的能力，是中檔題．