Question

已知函數(shù)f（x）=x²+2bx的圖象在點A（0，f（0））處的切線l與直線x-y+3=0平行，若數(shù)列{

1

f(n)

}的前n項和為S₂₀₁₅的值為（　�。�

• A、

  2015

  2014

• B、

  2014

  2015

• C、

  2016

  2015

• D、

  2015

  2016

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程,二次函數(shù)的性質(zhì),數(shù)列的求和

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求出函數(shù)f（x）的解析式，然后求出數(shù)列的通項公式，從而得到答案．

解答： 由題可知函數(shù)f（x）的圖象在點A處的切線l的斜率為1，
又f′（x）=2x+2b，故f′（0）=2b=1，
即b=

1

2

，從而f（x）=x²+x．
故

1

f(x)

=

1

x

-

1

x+1

．
所以S2015=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…(

1

2014

-

1

2015

)+(

1

2015

-

1

2016

)=

2015

2016

．
故選：D．

點評：本題主要考察導(dǎo)數(shù)的意義及數(shù)列的前n項和求法．