Question

如圖所示，在矩形ABCD中，AD=1，AB=2，點E是線段AB的中點，把三角形AED沿DE折起，設(shè)折起后點A的位置為 P，F(xiàn)是PD的中點．
（1）求證：無論P在什么位置，都有 AF∥平面 PEC；（2）當(dāng)點P在平面ABCD上的射影落在線段DE上時，若三棱錐P-ECD的四個頂點都在一個球上，求這個球的體積．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定,球的體積和表面積

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）根據(jù)面面平行得到線面平行；（2）畫出圖象，求出外接球的半徑，從而求出球的體積．

解答： （1）證明：設(shè)CD的中點是G，連接AG、FG，
∵CG∥AE，CG=AE，
∴四邊形AECG是平行四邊形，
∴AG∥EC，
∵AG?平面PEC，EC?平面PEC，
∴AG∥平面PEC，
又∵FG∥PC，F(xiàn)G?平面PEC，PC?平面PEC，
∴FG∥平面PEC，
∵FG?平面AGF，AG?平面AGF，F(xiàn)G∩AG=G，
∴平面AGF∥平面PEC，而AF?平面AGF，
∴AF∥平面PEC；

（2）解：如圖（1）所示，
∵PD=PE=1，若點P的射影為O，
∵點P的射影在線段DE上，
∴O是線段DE的中點，且PO⊥平面EBCO，
∵△PDE是等腰直角三角形，PD=PE=1，
∴OP=

2

2

，
由△ECD是等腰直角三角形，∠DEC=90°，
∴三棱錐P-ECD的外接球是如圖（2）所示的長方體的外接球，
∴外接球的半徑R=

1

2

2 2+ 2 2+( 2 2 )2

=

3 2

4

，
∴V=

4

3

πR³=

9 2 π

8

．

點評：本題考查了線面，面面的平行的性質(zhì)以及判斷，考查了球的體積問題，本題屬于中檔題．