Question

7．已知點(diǎn)P是直線x-y-2=0上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作拋物線C：x²=2py（0＜p＜4）的兩條切線，切點(diǎn)分別為A、B，線段AB的中點(diǎn)為M，連接PM，交拋物線C于點(diǎn)N，若$\overrightarrow{PM}$=λ$\overrightarrow{PN}$，則λ=2．

Answer 1

分析 求出切線方程，可得M的坐標(biāo)，利用$\overrightarrow{PM}$=λ$\overrightarrow{PN}$，即可得出結(jié)論．

解答 解：設(shè)A（x₁，$\frac{1}{2p}$x₁²），B（x₂，$\frac{1}{2p}$x₂²），P（x₀，y₀）
由拋物線C：x²=2py得拋物線C的方程為y=$\frac{1}{2p}$x²，∴y′=$\frac{x}{p}$
∴PA：y-$\frac{1}{2p}$x₁²=$\frac{{x}_{1}}{p}$（x-x₁）①，PB：：y-$\frac{1}{2p}$x₂²=$\frac{{x}_{2}}{p}$（x-x₂）②
聯(lián)立①②可得x₁，x₂是方程t²-2x₀t+2py₀=0的兩個(gè)根，
∴x₁+x₂=2x₀，x₁x₂=2py₀，
線段AB的中點(diǎn)為M（x₀，$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{p}$-y₀），
又N（x₀，$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2p}$），
∵$\overrightarrow{PM}$=λ$\overrightarrow{PN}$，∴$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{p}$-y₀-y₀=λ（$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2p}$-y₀），∴λ=2．
故答案為2．

點(diǎn)評(píng) 本題以拋物線為載體，考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線的切線方程，考查計(jì)算能力，有一定的綜合性．