Question

16．已知函數(shù)f（x）=|x+3|+|2x-4|．
（1）當(dāng)x∈[-3，3]時(shí)，解關(guān)于x的不等式f（x）＜6；
（2）求證：?t∈R，f（x）≥4-2t-t²．

Answer 1

分析 （1）通過討論a的范圍，求出不等式的解集即可；
（2）求出f（x）的分段函數(shù)的形式，求出f（x）的最小值，得到關(guān)于t的不等式，證出即可．

解答 解：（1）當(dāng)-3≤x≤2時(shí)，f（x）=x+3-（2x-4）=-x+7，
故原不等式可化為-x+7＜6，
解得：x＞1，故1＜x≤2；
當(dāng)2＜x≤3時(shí)，f（x）=x+3+（2x-4）=3x-1，
故原不等式可化為3x-1＜6，解得$2＜x＜\frac{7}{3}$；
綜上，可得原不等式的解集為$\left\{{x|1＜x＜\frac{7}{3}}\right\}$．
（2）證明：$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{-3x+1，x≤-3}\\{-x+7，-3＜x≤2}\\{3x-1，x＞2}\end{array}}\right.$，

由圖象，可知f（x）≥5，
又因?yàn)?-2t-t²=-（t+1）²+5≤5，
所以f（x）≥4-2t-t²．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解絕對(duì)值不等式問題，考查分類討論思想以及轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．