Question

11．一幅廣告印刷品的畫(huà)面（矩形，如圖①陰影部分）面積6m²，它的兩邊都留有寬為0.15m的空白，頂部和底部都留有寬為0.1m的空白
（1）如何選擇紙張的尺寸，才能使紙張的用量最少？
（2）如圖②，將此廣告張貼在墻上，其畫(huà)面（不包含空白）的最高點(diǎn)A處離地面4m，最低點(diǎn)B處離地面2m，若從地面1.5m的C處觀賞它，則離墻多遠(yuǎn)是，視角θ最大？

Answer 1

分析 （1）設(shè)紙張的長(zhǎng)和寬，表示出紙張的面積，利用基本不等式求最值，即可得到結(jié)論．
（2）過(guò)C作CD⊥AB，垂足為D，設(shè)CD=xm，則θ=∠ACD-∠BCD，利用差角的正切公式，我們可以求得tanθ=$\frac{2}{x+\frac{\frac{5}{4}}{x}}$，利用基本不等式可得結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)紙張的長(zhǎng)和寬分別是x，y，則xy=6
紙張的面積為：S=（y+0.2（x+0.3）
=xy+0.2x+0.3y+0.06≥xy+2$\sqrt{0.06xy}$+0.06
當(dāng)且僅當(dāng)0.2x=0.3y，即x=2，y=3時(shí)，
S有最小值6+$\sqrt{0.06}$，
此時(shí)紙張的長(zhǎng)和寬分別為2m，3m；
（2）由題意，過(guò)C作CD⊥AB，垂足為D，
設(shè)CD=xm，則θ=∠ACD-∠BCD
∴tanθ=tan（∠ACD-∠BCD）=$\frac{\frac{2.5}{x}-\frac{0.5}{x}}{1+\frac{2.5}{x}×\frac{0.5}{x}}$=$\frac{2}{x+\frac{\frac{5}{4}}{x}}$，
∵x＞0，∴tanθ≤$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
∵$θ∈（0，\frac{π}{2}）$．
∴當(dāng)且僅當(dāng)x=$\frac{\frac{5}{4}}{x}$，即x=$\frac{\sqrt{5}}{2}$m時(shí)，tanθ最大，即視角最大，
∴離墻$\frac{\sqrt{5}}{2}$m時(shí)tanθ最大，此時(shí)視角最大．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查差角的正切函數(shù)公式，考查利用基本不等式求最值，解題的關(guān)鍵是利用差角的正切函數(shù)公式構(gòu)建函數(shù)模型．