Question

4．某市一高中經(jīng)過層層上報，被國家教育部認(rèn)定為2015年全國青少年足球特色學(xué)校．該校成立了特色足球隊，隊員來自高中三個年級，人數(shù)為50人．視力對踢足球有一定的影響，因而對這50人的視力作一調(diào)查．測量這50人的視力（非矯正視力）后發(fā)現(xiàn)他們的視力全部介于4.75和5.35之間，將測量結(jié)果按如下方式分成6組：第一組[4.75，4.85），第二組[4.85，4.95），…，第6組[5.25，5.35]，如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖．又知：該校所在的省中，全省喜愛足球的高中生視力統(tǒng)計調(diào)查數(shù)據(jù)顯示：全省100000名喜愛足球的高中生的視力服從正態(tài)分布N（5.01，0.0064）．
（1）試評估該校特色足球隊人員在全省喜愛足球的高中生中的平均視力狀況；
（2）求這50名隊員視力在5.15以上（含5.15）的人數(shù)；
（3）在這50名隊員視力在5.15以上（含5.15）的人中任意抽取2人，該2人中視力排名（從高到低）在全省喜愛足球的高中生中前130名的人數(shù)記為ξ，求ξ的數(shù)學(xué)期望．
參考數(shù)據(jù)：若ξ～N（μ，σ²），則P（μ-σ＜ξ≤μ+σ）=0.6826，P（μ-2σ＜ξ≤μ+2σ）=0.9544，P（μ-3σ＜ξ≤μ+3σ）=0.9974．

Answer 1

分析 （1）用組中值×頻率，即可得到結(jié)論；
（2）首先理解頻數(shù)分布直方圖橫縱軸表示的意義，橫軸表示身高，縱軸表示頻數(shù)，即：每組中包含個體的個數(shù)．我們可以依據(jù)頻數(shù)分布直方圖，了解數(shù)據(jù)的分布情況，知道每段所占的比例，從而求出這50名隊員視力在5.15以上（含5.15）的人數(shù)；
（3）先根據(jù)正態(tài)分布的規(guī)律求出全市前130名的視力在5.25以上，這50人中5.25以上的有2人，確定ξ的可能取值，求出其概率，即可得到ξ的期望．

解答 解：（1）由直方圖，經(jīng)過計算該校特色足球隊人員在全省喜愛足球的高中生中的平均視力狀況為4.8×0.1+4.9×0.2+5.0×0.3+5.1×0.2+5.2×0.1+5.3×0.1=5.03．…（4分）
（2）由頻率分布直方圖知，后2組頻率為0.2，人數(shù)為0.2×50=10，即這50名隊員視力在5.15以上（含5.15）的人數(shù)為10人．…（6分）
（3）∵P（5.01-3×0.08＜ξ≤5.01+3×0.08）=0.9974，
∴P（ξ≥5.25）=0.0013，0.0013×100 000=130．
所以，全市前130名的視力在5.25以上，這50人中5.25以上的有2人．
隨機變量ξ可取0，1，2，于是
P（ξ=0）=$\frac{{C}_{8}^{2}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{28}{45}$，P（ξ=1）=$\frac{{C}_{8}^{1}{C}_{2}^{1}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{16}{45}$，P（ξ=2）=$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{1}{45}$，
∴Eξ=0×$\frac{28}{45}$+1×$\frac{16}{45}$+2×$\frac{1}{45}$=$\frac{2}{5}$．…（12分）

點評 此題主要考查了正態(tài)分布，考查隨機變量的定義及其分布列，并考查了利用分布列求其期望．正確理解頻數(shù)分布直方圖橫縱軸表示的意義，由頻數(shù)分布直方圖可以得到什么結(jié)論是學(xué)習(xí)中需要掌握的關(guān)鍵．