Question

12．在△ABC中，內(nèi)角A=$\frac{π}{3}$，P為△ABC的外心，若$\overrightarrow{AP}$=λ₁$\overrightarrow{AB}$+2λ₂$\overrightarrow{AC}$，其中λ₁與λ₂為實(shí)數(shù)，則λ₁+λ₂的最大值為（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． 1-$\frac{\sqrt{2}}{3}$
• C． $\frac{3}{4}$
• D． 1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 設(shè)|AB|=c，|AC|=b，進(jìn)行數(shù)量積運(yùn)算便可得到 $\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{2}$c²，$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{2}$b²；根據(jù)條件在$\overrightarrow{AP}$=λ₁$\overrightarrow{AB}$+2λ₂$\overrightarrow{AC}$兩邊分別乘以$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AC}$，進(jìn)行數(shù)量積運(yùn)算，并整理可得到$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}{c}^{\;}={λ}_{1}{c}^{\;}+{λ}_{2}b\\ \frac{1}{2}^{\;}=\frac{1}{2}{λ}_{1}{c}^{\;}+2{λ}_{2}^{\;}\end{array}\right.$，
消元即可得出$\left\{\begin{array}{l}{λ}_{1}{=\frac{2}{3}}^{\;}-\frac{1}{3}•\frac{c}\\{λ}_{2}{{=\frac{1}{3}}^{\;}-\frac{1}{6}•\frac{c}}^{\;}\end{array}\right.$，從而表示出λ₁+λ₂，根據(jù)基本不等式即可求出λ₁+λ₂的最大值．，從而表示出x+y，根據(jù)基本不等式即可求出x+y的最大值

解答 解：設(shè)|AB|=c，|AC|=b，
則：$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{2}$c²，$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{2}$b²；
又cosA=$\frac{1}{2}$，在$\overrightarrow{AP}$=λ₁$\overrightarrow{AB}$+2λ₂$\overrightarrow{AC}$的兩邊分別乘以$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AC}$得：$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}{c}^{2}={λ}_{1}{c}^{2}+{λ}_{2}bc\\ \frac{1}{2}^{2}=\frac{1}{2}{λ}_{1}{bc}^{\;}+2{λ}_{2}^{2}\end{array}\right.$；
整理得，$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}{c}^{\;}={λ}_{1}{c}^{\;}+{λ}_{2}b\\ \frac{1}{2}^{\;}=\frac{1}{2}{λ}_{1}{c}^{\;}+2{λ}_{2}^{\;}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{λ}_{1}{=\frac{2}{3}}^{\;}-\frac{1}{3}•\frac{c}\\{λ}_{2}{{=\frac{1}{3}}^{\;}-\frac{1}{6}•\frac{c}}^{\;}\end{array}\right.$；
∴λ₁+λ₂=1-（$\frac{3c}$+$\frac{c}{6b}$）≤1-2$\sqrt{\frac{1}{18}}$=1-$\frac{\sqrt{2}}{3}$；
∴λ₁+λ₂的最大值為  1-$\frac{\sqrt{2}}{3}$．
故選：B

點(diǎn)評(píng) 考查向量數(shù)量積的運(yùn)算及計(jì)算公式，三角形的外心的概念，消元法解二元一次方程組，以及基本不等式求最值，不等式的性質(zhì)．