Question

4．已知圓C的方程（x-1）²+y²=1，P是橢圓$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}$=1上一點(diǎn)，過P作圓的兩條切線，切點(diǎn)為A、B，則$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$的取值范圍為（　　）

• A． $[2\sqrt{2}-3，\frac{56}{9}]$
• B． $[\frac{56}{9}，+∞）$
• C． $（-∞，2\sqrt{2}-3]$
• D． $（-∞，2\sqrt{2}-3]∪[\frac{56}{9}，+∞）$

Answer 1

分析 由圓切線的性質(zhì)，即與圓心切點(diǎn)連線垂直設(shè)出一個(gè)角，通過解直角三角形求出PA，PB的長(zhǎng)；利用向量的數(shù)量積公式表示出$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$，利用三角函數(shù)的二倍角公式化簡(jiǎn)函數(shù)，通過換元，再利用基本不等式求出最值．

解答 解：設(shè)PA與PB的夾角為2α，
則|PA|=PB|=$\frac{1}{tanα}$，
∴y=$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=|$\overrightarrow{PA}$||$\overrightarrow{PB}$|cos2α=$\frac{1}{ta{n}^{2}α}$•cos2α
=$\frac{1+cos2α}{1-cos2α}$•cos2α．
記cos2α=u，則y=$\frac{u（u+1）}{1-u}$=-3+（1-u）+$\frac{2}{1-u}$≥2$\sqrt{2}$-3，
∵P在橢圓的左頂點(diǎn)時(shí)，sinα=$\frac{1}{3}$，∴cos2α=$\frac{7}{9}$，
∴$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$的最大值為$\frac{1+\frac{7}{9}}{1-\frac{7}{9}}×\frac{7}{9}$=$\frac{56}{9}$，
∴$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$的范圍為[2$\sqrt{2}$-3，$\frac{56}{9}$]，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查了圓的切線的性質(zhì)、三角函數(shù)的二倍角公式、向量的數(shù)量積公式、基本不等式求函數(shù)的最值，屬于中檔題．