Question

已知a₁=1，且a_n+1=2ⁿa_n，求a_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的概念及簡單表示法

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：由a_n+1=2ⁿa_n，得

an+1

an

=2ⁿ，利用累乘法可求得a_n．

解答： 解：由a_n+1=2ⁿa_n，得

an+1

an

=2ⁿ，
∴n≥2時(shí)，

an

an-1

=2^n-1，
∴n≥2時(shí)，a_n=a₁•

a2

a1

•

a3

a2

…

an

an-1

=1×2×2²×…×2^n-1
=2^{1+2+…+（n-1）}
=2

n(n-1)

2

，
又a₁=1適合上式，
∴a_n=2

n(n-1)

2

．

點(diǎn)評：本題考查由數(shù)列遞推式求數(shù)列通項(xiàng)，屬中檔題，若已知

an+1

an

=f（n）求數(shù)列通項(xiàng)，常用累乘法求解，注意檢驗(yàn)n=1時(shí)的情形．