Question

德國著名數(shù)學(xué)家狄利克雷在數(shù)學(xué)領(lǐng)域成就顯著，以其名命名的函數(shù)f（x）=

1，x∈Q 0，x∈∁RQ

被稱為狄利克雷函數(shù)，其中R為實數(shù)集，Q為有理數(shù)集，則關(guān)于函數(shù)有如下四個命題：
①f（f（x））=0；
②函數(shù)f（x）是偶函數(shù)；
③任取一個不為零的有理數(shù)T，f（x+T）=f（x）對任意的x∈R恒成立；
④存在三個點A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂）），C（x₃，f（x₃）），使得△ABC為等邊三角形．
其中的真命題是（　�。�

• A、①②④
• B、②③
• C、③④
• D、②③④

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：①，根據(jù)函數(shù)的對應(yīng)法則，可得不管x是有理數(shù)還是無理數(shù)，均有f（f（x））=1，從而可判斷①；
②，根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，可得f（x）是偶函數(shù)，可判斷②；
③，根據(jù)函數(shù)的表達式，結(jié)合有理數(shù)和無理數(shù)的性質(zhì)，得f（x+T）=f（x），可判斷③；
對于④，取x₁=-

3

3

，x₂=0，x₃=

3

3

，可得A（-

3

3

，0）、B（0，1）、C（

3

3

，0）三點恰好構(gòu)成等邊三角形，可判斷④．

解答： 解：對于①，∵當(dāng)x為有理數(shù)時，f（x）=1；當(dāng)x為無理數(shù)時，f（x）=0，
∴當(dāng)x為有理數(shù)時，f（f（x））=f（1）=1；當(dāng)x為無理數(shù)時，f（f（x））=f（0）=1，
即不管x是有理數(shù)還是無理數(shù)，均有f（f（x））=1，故①錯誤；
對于②，因為有理數(shù)的相反數(shù)還是有理數(shù)，無理數(shù)的相反數(shù)還是無理數(shù)，
所以對任意x∈R，都有f（-x）=f（x），故②正確；
對于③，若x是有理數(shù)，則x+T也是有理數(shù)； 若x是無理數(shù)，則x+T也是無理數(shù)，
∴根據(jù)函數(shù)的表達式，任取一個不為零的有理數(shù)T，f（x+T）=f（x）對x∈R恒成立，故③正確；
對于④，取x₁=-

3

3

，x₂=0，x₃=

3

3

，可得A（-

3

3

，0）、B（0，1）、C（

3

3

，0）三點恰好構(gòu)成等邊三角形，故④正確．
綜上所述，真命題是②③④，
故選：D．

點評：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，著重考查狄利克雷函數(shù)表達式的理解與應(yīng)用，考查函數(shù)的奇偶性、周期性，考查分析、探究能力，屬于難題．