Question

8．設(shè)函數(shù)f（x）=x（lnx-ax）（a∈R）在區(qū)間（0，2）上有兩個(gè)極值點(diǎn)，則a的取值范圍是（　　）

• A． $（-\frac{1}{2}，0）$
• B． $（0，\frac{ln2+1}{4}）$
• C． $（\frac{1}{2}，1）$
• D． $（\frac{ln2+1}{4}，\frac{1}{2}）$

Answer 1

分析 方法一：求導(dǎo)f′（x）=lnx-2ax+1，由關(guān)于x的方程a=$\frac{lnx+1}{2x}$在區(qū)間（0，+∞）由兩個(gè)不相等的實(shí)根，構(gòu)造輔助函數(shù)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性即可求得a取值范圍；
方法二：由題意，關(guān)于x的方程2ax=lnx+1在區(qū)間（0，2）由兩個(gè)不相等的實(shí)根，則y=2ax與y=lnx+1有兩個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求得a的取值范圍．

解答 解：方法一：f（x）=x（lnx-ax），求導(dǎo)f′（x）=lnx-2ax+1，
由題意，關(guān)于x的方程a=$\frac{lnx+1}{2x}$在區(qū)間（0，+∞）由兩個(gè)不相等的實(shí)根，
令h（x）=$\frac{lnx+1}{2x}$，h′（x）=-$\frac{2lnx}{4{x}^{2}}$，
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，h（x）單調(diào)遞增，當(dāng)x∈（1，+∞）單調(diào)遞減，
當(dāng)x→+∞時(shí)，h（x）→0，
由圖象可知：函數(shù)f（x）=x（lnx-ax），在（0，2）上由兩個(gè)極值，
只需$\frac{ln2+1}{4}$＜a＜$\frac{1}{2}$，
故D．

方法二：f（x）=x（lnx-ax），求導(dǎo)f′（x）=lnx-2ax+1，
由題意，關(guān)于x的方程2ax=lnx+1在區(qū)間（0，2）由兩個(gè)不相等的實(shí)根，
則y=2ax與y=lnx+1有兩個(gè)交點(diǎn)，
由直線y=lnx+1，求導(dǎo)y′=$\frac{1}{x}$，
設(shè)切點(diǎn)（x₀，y₀），$\frac{ln{x}_{0}+1}{{x}_{0}}$=$\frac{1}{{x}_{0}}$，解得：x₀=1，
∴切線的斜率k=1，
則2a=1，a=$\frac{1}{2}$，
則當(dāng)x=2，則直線斜率k=$\frac{ln2+1}{2}$，
則a=$\frac{ln2+1}{4}$，
∴a的取值范圍（$\frac{ln2+1}{4}$，$\frac{1}{2}$），
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性及應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．