Question

15．如圖，設(shè)A是單位圓和x軸正半軸的交點(diǎn)，P、Q是單位圓上的兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，∠AOP=$\frac{π}{6}$，∠AOQ=α，α∈[0，π）．
（1）若Q（$\frac{3}{5}$，$\frac{4}{5}$），求cos（α+$\frac{π}{4}$）的值；
（2）設(shè)函數(shù)f（α）=$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$，求f（α）的值域．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角函數(shù)的定義和題意求出cosα，sinα的值，再由兩角差的余弦公式展開后代入求值；
（2）根據(jù)向量的數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算和條件代入f（α）=$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$，利用兩角和正弦公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，根據(jù)α的范圍和正弦函數(shù)的性質(zhì)求出值域．

解答 解：（1）由已知可得cosα=$\frac{3}{5}$，sinα=$\frac{4}{5}$，
∴cos$（α+\frac{π}{4}）$=cosαcos$\frac{π}{4}$-sinαsin$\frac{π}{4}$=$-\frac{{\sqrt{2}}}{10}$
（2）f（α）=$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=（cos$\frac{π}{6}$，sin$\frac{π}{6}$）•（cosα，sinα）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosα+$\frac{1}{2}$sinα=$cos（α-\frac{π}{6}）$，
∵α∈[0，π），∴$α-\frac{π}{6}∈[{-\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}}）$，$cos（α-\frac{π}{6}）$∈（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，
∴f（α）的值域是（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]

點(diǎn)評(píng) 本題是由關(guān)三角函數(shù)的綜合題，考查了三角函數(shù)的定義，兩角和差的正弦（余弦）公式，正弦函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，三角函數(shù)是高考的重點(diǎn)，必須掌握和理解公式以及三角函數(shù)的性質(zhì)，并會(huì)應(yīng)用．