Question

【題目】若存在常數(shù)，使得數(shù)列滿足對一切恒成立，則稱為可控數(shù)列，.

（1）若，，問有多少種可能？

（2）若是遞增數(shù)列，，且對任意的，數(shù)列，，成等差數(shù)列，判斷是否為可控數(shù)列？說明理由；

（3）設(shè)單調(diào)的可控數(shù)列的首項，前項和為，即.問的極限是否存在，若存在，求出與的關(guān)系式；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）2017種；（2）是；見解析；（3）極限存在，此時

【解析】

（1）依據(jù)定義驗證利用枚舉法即得結(jié)果；

（2）根據(jù)，，成等差數(shù)列，得到；再根據(jù)是遞增數(shù)列，得到，最后得；

（3）當為單調(diào)遞增時，；當為單調(diào)遞減時，；利用累加法求得數(shù)列的通項，再對數(shù)列進行分組求和后求極限即得.

（1）當，時，有，用枚舉法，得：

；

，；

，，；

，，，；

，，， .

我們發(fā)現(xiàn)：

當為奇數(shù)時，項有種可能；

當為偶數(shù)時，項有種可能；

故有種可能；

（2），，成等差數(shù)列，

，變形得：，

又是遞增數(shù)列，

，

即

，，

即

所以命題得證；

（3）（�。┤魯�(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，則：

，由累加法得：

，

對數(shù)列進行分組求和得：，

極限不存在；

（ⅱ）若數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，則：

，由累加法得：

，

對數(shù)列進行分組求和得：

，極限存在，此時.