Question

7．已知函數(shù)f（x）=（log₂x）²-2（a-1）•log₂x-2（a∈R）在[2，4]上的最小值記為φ（a）．
（1）求φ（a）的表達(dá)式；
（2）請(qǐng)用二分法計(jì)算函數(shù)g（a）=|2^a-1|-φ（a）零點(diǎn)的近似值（精確度0.15）（參考數(shù)據(jù)2^0.25≈1.2，2^0.375≈1.3）

Answer 1

分析 （1）令t=log₂x，x∈[2，4]，則t∈[1，2]，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分類討論，可得φ（a）的表達(dá)式；
（2）結(jié)合零點(diǎn)存在定理，用二分法，可得函數(shù)g（a）在區(qū)間（0.25，0.375）上有一個(gè)零點(diǎn)，進(jìn)而得到答案．

解答 解：（1）令t=log₂x，x∈[2，4]，則t∈[1，2]，
則v（t）=f（x）=（log₂x）²-2（a-1）•log₂x-2=t²-2（a-1）t-2，
由v（t）=t²-2（a-1）t-2的圖象是開口朝上，且以直線x=a-1為對(duì)稱軸的拋物線，
故當(dāng)a-1＜1，即a＜2時(shí)，φ（a）=v（1）=1-2a；
當(dāng)1≤a-1≤2，即2≤a≤3時(shí)，φ（a）=v（a-1）=-a²+2a-3；
當(dāng)a-1＞2，即a＞3時(shí)，φ（a）=v（2）=6-4a；
綜上可得：φ（a）=$\left\{\begin{array}{l}1-2a，a＜2\\-{a}^{2}+2a-3，2≤a≤3\\ 6-4a，a＞3\end{array}\right.$，
（2）函數(shù)g（a）=|2^a-1|-φ（a）在R上是連續(xù)函數(shù)，
由g（0）=-1＜0，g（1）=2＞0得，函數(shù)g（a）在區(qū)間（0，1）上有一個(gè)零點(diǎn)；
又由g（0.5）=$\sqrt{2}-1$＞0，得，函數(shù)g（a）在區(qū)間（0，0.5）上有一個(gè)零點(diǎn)；
又由g（0.25）=$\root{4}{2}-1-0.5$≈1.2-1.5＜0，得，函數(shù)g（a）在區(qū)間（0.25，0.5）上有一個(gè)零點(diǎn)；
又由g（0.375）=$\root{8}{{2}^{3}}-1-0.25$≈1.3-1.25＞0，得，函數(shù)g（a）在區(qū)間（0.25，0.375）上有一個(gè)零點(diǎn)；
故函數(shù)g（a）=|2^a-1|-φ（a）零點(diǎn)的近似值為0.25

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的最值及其幾何意義，二分法求函數(shù)的零點(diǎn)，難度中檔．